Denklem Sistemleri

Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler

İçerisinde eşitlik ve bir bilinmeyen bulunan rasyonel ifadelere bir bilinmeyenli rasyonel denklemler denir. [(2x+6)/(2x)]=8 Buradaki bilinmeyen yerine değişken de kullanılabilir.Denklemi doğru yapan değişkenin veya bilinmeyenin değerine denklemin çözümü, bu doğru değeri bulma işlemine denklemi çözme denir.Diğer bir deyişle denklemi sağlayan bilinmeyene denklemin kökü,denklemin köklerinden oluşan kümeye denklemin çözüm kümesi denir.




İki Değişkenli Denklemler

İçerisinde eşitlik ve iki değişken bulunan ifadelere iki değişkenli denklemler denir. (x+2y=8)

İki değişkenli denklemin çözüm kümesi (x,y) ikililerinden oluşur.Bu denklem dik koordinat sisteminde doğru belirtir ve bu doğru üzerinde sonsuz sayıda nokta vardır.Bundan dolayı birinci dereceden iki değişkenli denklemlerin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

Aynı değişkenleri içeren iki doğrusal denklem doğrusal denklem sistemini oluşturur.Doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde, yerine koyma yöntemi veya yok etme yöntemi kullanılır.Sistemin çözümü olan sıralı ikili her iki denklemi sağlamalıdır.


Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri

Yerine Koyma Yöntemi

Verilen iki denklemin, herhangi birinden bilinmeyenlerden biri, diğeri cinsinden bulunur ve diğer denklemde yerine yazılır.Elde edilen bir bilinmeyenli denklem çözülür.Bulunan bu değer, denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen bulunur.

Yok Etme Yöntemi

Verilen her iki denklemin, bilinmeyenlerinden birinin katsayıları simetrik (mutlak değerce eşit ve zıt işaretli) olmalıdır.Bu koşul yoksa bilinmeyenlerden herhangi birinin, her iki denklemde de katsayıları simetrik duruma getirilir.Sonra her iki denklem taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden biri yok edilir.Elde edilen br bilinmeyenli denklem çözülerek, bilinmeyenlerden biri bulunur.Bulunan bu değer, denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen bulunur.

YOK ETME YÖNTEMİ İLE ÇÖZELİM

2 x + y = 1
6 x – 2 y = 13

1. Çarpma işlemi yaparak x veya y’nin katsayılarını birbirine eşitleyelim.

2 x + y = 1 (2 ile çarpın)

Birinci denklemde eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarparsak;

4 x + 2 y = 2

Elde ederiz.
İkinci denklemi aynen alırız. 6 x – 2 y = 13

2. Seçilen terimi taraf tarafa toplayarak veya çıkartarak yok edelim.

4 x + 2 y = 2
6 x – 2 y = 13
______________

10 x = 15 (Burada y’li ifadeleri toplarsak sıfır buluruz.)


3. Şimdi x değerini bulalım.

10x = 15 ise

x = 1,5  olur.

4. Bulduğumuz x = 1.5 değerini diğer denklemde yerine yazalım.

2 x + y = 1

(2 . 1,5) + y = 1

3 + y = 1

y = –2

Cevap: x = 1,5

y = – 2

Sonuçları kontrol etme

Bulduğumuz x = 1,5 ve y = –2 değerleri denklemlerden birinde yerine yazılır .Denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılır:
6 x – 2 y = 13
(6 . 1,5) – (2 . – 2) = 13
9 – (–4) = 13
9 + 4 = 13

UYARI:

Seçilen terimin işaretleri aynı olduğu zaman iki denklemi taraf tarafa çıkararak, seçilen terimi yok ederiz.

3 x + 2 y = 16
2 x + 2 y = 14

x= 2
(Taraf tarafa çıkaralım)

Eğer işaretler farklı ise, seçilen terimi yok etmek için denklemleri taraf tarafa toplamalıyız.

Denklemleri bu denklemlere ait grafikleri çizerek de çözebilirsiniz. 

Koordinat düzleminde iki doğrunun kesiştiği nokta, denklemlerin çözüm kümesidir.


Aynı örneğimizi  bu kez de YOK ETME YÖNTEMİNİ kullanarak çözelim:

2x+y= 1 ise  y=1-2x olur.

6x-2y=13 denkleminde y yi yerine yazalım:   

6x-2(1-2x)=13   -2 yi (1-2x) üzerine dağıtırsak;

6x-2+4x=13 olur.  

10x-2=13 

10x=15 ise

x=1,5 olur.  

2x+y=1 denkleminde yerine yazarsak y yi elde ederiz.

2.(1,5)+y=1 

3+y=1

y=-2 olur.

Göründüğü gibi iki yöntem de çok basit hangisini beğendiyseniz onu kullanırsınız.Başarılar dilerim... Sorularınız için yorum veya iletişim bölümüne yazabilirsiniz...