Sayı Dizileri ve Fraktallar

Belirli bir kurala göre düzenli bir şekilde tekrar eden veya genişleyen şekil ya da sayı dizisine örüntü denir. Örüntüler eş ya da benzer çokgenler kullanılarak oluşturulur.

Ünlü matematikçi Fibonacci’nin bulduğu sayılarda özel bir örüntü vardır. Bu örüntüde bir sayıyı kendisinden önceki sayıya böldüğümüzde birbirine çok yakın sayılar elde edilir. Bu oran altın oran olarak adlandırılır.

Fibonacci sayıları 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,… şeklindedir.

Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyütülmüşleri ile inşa edilen örüntüler “fraktal” olarak adlandırılır.

 

NOT:

Karesel sayıların oluşturduğu dizide, ardışık sayılar arasındaki farkın oluşturduğu dizi tek sayılar dizisidir.

0 1 4 9 16 25 36…(aralarındaki fark altına yazılmış.)

  1 3 5 7  9   11

 

ÖR: Pascal üçgeni,

Yanda verilen sayıların oluşturduğu üçgen, Pascal üçgenidir.

Pascal üçgenini yandaki gibi gösterip üzerindeki örüntüleri inceleyelim:

Sayılar aşağıdaki şekildeki gibi toplandığında ise Fibonacci dizisi elde edilir.

 

Aritmetik Dizi

Bir sayıya art arda aynı sayının eklenmesi veya çıkarılması ile oluşan diziye aritmetik dizi denir. Aritmetik dizide ardışık iki terimin farkı ardışık eklenen veya çıkarılan sayıdır. Bu sayıya dizinin ortak farkı denir.

ÖR: 1, 3, 5 , 7, … dizisi aritmetik bir dizidir. 1.terime 2 eklenerek elde edilmiştir. Ortak fark 2 dir.

Geometrik Dizi

Bir sayıyı ardışık olarak aynı sayı ile çarparak veya bölerek oluşturulan diziye geometrik dizi denir. Geometrik dizide ardışık terimlerin oranı, ardışık çarpılan veya bölünen sayıdır. Bu sayıya dizinin ortak çarpanı denir.

ÖR: 3, 12, 48, 192, … dizisi geometrik dizidir. 1. Terim 4 ile çarpılarak elde edilmiştir.

ÖRNEKLER

1. Aşağıdaki örüntünün kuralını bulalım.

 

 1. sırada 1 tane

2. sırada 4 tane

3. sırada 9 tane

4. sırada 16 tane

n. sırada  ? tane

Dikkat edersek sıra sayısı ile oluşan birim kare sayısı arasındaki ilişkiyi görebiliriz. Sıra sayısının karesi örüntünün kuralını verir.

Sonuç: n. sırada n² tane birim kare vardır.

2. 

 

1. sırada 1 tane

2. sırada 3 tane

3. sırada 5 tane

4. sırada 7 tane

n. sırada  ? tane

Sonuç: n. sırada (2n-1) tane birim kare vardır.

3. Fraktal ile normal örüntü arasındaki fark nedir?

Fraktallar da bir çeşit örüntüdür. Fakat örüntülerden farklıdır.

Fraktallar virüs gibidir, her bir parçasından devamlı benzer parçaları oluşur. Normal örüntülerde ise benzer parçalar vardır fakat bu parçalar birbirinden oluşmaz. Bir şeklin fraktal olup olmadığını anlamamızı sağlayan en önemli nokta şudur: Fraktalların içinde veya üzerinde oluşturulan şekiller birbirinin küçültülmüş veya büyütülmüş şekilleridir.

Genellikle küçülme ve büyüme yoluyla oluşturulurlar. Fraktallara en çok verilen örnek eğrelti otudur. Eğrelti otunun her yaprağının üzerinde yine küçük küçük yapraklar vardır.

SORULAR

y1. Yandaki şekilde kibrit çöpleri ile oluşturulan örüntü modeli ile her bir modelde kullanılan kibrit çöpü sayısı arasındaki ilişkiyi bulunuz.

 2. 5 sayısına 3 sayısını art arda ekleyerek aritmetik dizi oluşturunuz. Bu dizinin 17. terimini bulunuz.

3.