Gerçek Sayılar-Rasyonel Sayılar-İrrasyonel Sayılar

İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılar irrasyonel sayı olarak adlandırılır. Bu sayıların oluşturduğu küme irrasyonel sayılar kümesidir.

ÖR: Aşağıdaki sayılardan hangilerinin irrasyonel sayı hangilerinin rasyonel sayı olduğunu belirleyelim.

a) 4,33... devirli ondalık kesrini iki tam sayının oranı olarak yazabiliriz.

Aradığımız oran x olsun,

x= 4,333... olur.

Devreden 3 sayısını yok edebilmek için eşitliğin her iki tarafını 10 ile çarpalım:

10x=43,333...

Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkaralım:

9x=39 olur. x= 13/3

4,333... devirli ondalık kesri, iki tam sayının oranı olarak yazılabildiğinden rasyonel sayıdır.

b) 2,01020301... şeklinde sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam eden sayılar iki tam sayının oranı şeklinde yazılamaz. Dolayısıyla bu sayı irrasyonel sayıdır.

Sayı kümelerini inceleyelim:

Sayma sayıları (S),                           

 Doğal sayılar (N),                      

Tam sayılar (Z),                                         

Rasyonel sayılar (Q)                           

olup aralarında

S⊂N⊂Z⊂Q şeklinde alt küme ilişkisi vardır.

Aynı zamanda S = N⁺ olur.

İrrasyonel sayılar (I), rasyonel sayılar kümesini kapsamaz. Dolayısıyla bu kümeler ayrıktır.      

I∩Q={ }

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesini oluşturur. Gerçek sayılar kümesi R sembolü ile gösterilir.      

I ∪Q=R

Gerçek sayılarla, sayı doğrusundaki tüm noktalara bir sayı sistemi karşılık gelmiş olur. Yani gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunu tam olarak doldurur.

Gerçek sayılar kümesinin diğer sayı kümeleriyle ilişkisini aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.

Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:

Sayının tamamından devretmeyen kısım çıkarılır. Paydaya  virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır yazılarak rasyonel sayı oluşturulur.

SORULAR

1.    X=0,3+0,03+0,003+…..

        Y=0,6+0,06+0,006+…..          

        Z=0,9+0,09+0,009+….

Yukarıda verilen X,Y,Z değerlerine göre X.Y.Z çarpımının sonucu kaçtır?

2.Bir irrasyonel sayı ile bir tam sayının toplamı rasyonel bir sayı mıdır?