Kümeler (Boş Küme, Alt Küme, Evrensel Küme, Kesişim, Birleşim Fark, Tümleme

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ 

Kümeler

Eşit Küme

Denk Küme

Boş Küme

Alt Küme

Kesişim, Birleşim, Fark, Tümleme

Küme:
İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Buradaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan varlıklar demektir. Kümeler genellikle büyük harflerle isimlendirilir ve gösterilirler.

Ör: 

A kümesi
Çalışkan öğrenciler 

Uzun boylu insanlar                Küme Belirtmez

Bazı hayvanlar

Birkaç gün 

Boyu 1.50 m'den uzun öğrenciler
Uçan hayvanlar                                        Küme Belirtir 

P harfi ile başlayan günler

KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI 

Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir. 

Eleman € sembolü ile gösterilir.

Elemanı değilsesembolü ile gösterilir. 

Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir. Ör: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.


Pazartesi  €  A , Pazartesi A kümesinin elemanıdır.

 Salı A , Salı A kümesinin elemanı değildir. 

s(A)=3 , A kümesinin eleman sayısı 3'tür.

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ



Kümeler Liste Yöntemi,



Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir.



Not: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme 

{ A, T, Ü, R, K } olur.

1-Liste Yöntemi

Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir.

Örnek: A = { 1, 2, 3 } - A kümesinin eleman sayısı 3'tür.

B = { 123 } - B kümesinin eleman sayısı 1'dir.

Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123'tür.


2-Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özeliği)} Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur. Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

Örnek: A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir.

K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme K = { x | x € N ve x < 4 } olarak gösterilebilir.

P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.

3- Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir. 

Aşağıda A = { a, b, c } kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir.  

Şema ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır.


EŞİT KÜME, DENK KÜME 

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.



A = { 1, 2, 3 } , B = { 1, 2, 3 } ve C = { a, b, c }

 A kümesi ile B kümesi eşittir. Sembolle A = B

  A kümesi ile C kümesi denktir. Sembolle AC

 NOT: Her eşit küme denktir fakat her denk küme eşit değildir.

BOŞ KÜME 

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.

NOT: {Ø} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir. 

EVRENSEL KÜME 

Belirli bir alandaki tüm elemanları içeren kümeye Evrensel Küme denir.

Genellikle E harfi ile gösterilir. 

A = { 1, 7, 9 } ve B = { 11, 13 } olsun. Bu kümelerin evrensel kümesi Tek Sayılar veya Sayılar olabilir.


ALT KÜME 

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A B biçiminde gösterilir. 

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. 

B A biçiminde gösterilir. 

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse     C  D biçiminde gösterilir. 

Alt Kümenin Özelikleri

Her küme kendisinin alt kümesidir.

A  A  

Boş küme her kümenin alt kümesidir. 

ØA 

( AB ve BA)  ise A = B dir. 

A = B ise  (A  B ve B  A) dir. 

(A B ve BC) ise AC dir. 

n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2^n dir.


KÜMELERDE İŞLEMLER 

1-Kümelerde Kesişim 



A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve 

A n B biçiminde gösterilir.








Kesişimin Özellikleri

A n Ø =  Ø

A n A = A

A n B = B n A

(A n B) n C = A n (B n C)

2-Kümelerde Birleşim
A kümesindeki ve B kümesindeki bütün elemanların oluşturduğu kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A u B biçiminde gösterilir.

Birleşimin Özellikleri 

A u Ø = A 

A u A = A 

AuB = Bu A 

Au (BuC) = (AuB)u C 

A  B  ise, A uB = B 

A u B = Ø ise, (A = Ø ve B =Ø ) dir.

3-İki Kümenin Farkı 

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir.

A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.





4-Bir Kümenin Tümleyeni 

A kümesinin dışındaki elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Başka bir ifade ile evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir.


A' şeklinde gösterilir.

Ör: A = { 1, 2, 3 } ve E ={ Rakamlar } olsun.


A kümesinin tümleyeni A' = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olur.

Not: A u A' = E